Question

【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對(duì)任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f（0）=0，

所以f（0）= =0，所以b=1，

因?yàn)閒（x）= ，

所以f（﹣x）= = ．

因?yàn)閒（﹣x）=﹣f（x），

所以 = ，

所以（2﹣a）（1﹣2x）=0，

所以a=2，

所以f（x）=

（2）解：因?yàn)閒（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，

所以f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）恒成立，

因?yàn)閒（x）為R上的奇函數(shù)，

所以f（t2﹣2t）＜f（﹣2t2+k）恒成立，

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，

所以t2﹣2t＞﹣2t2+k恒成立，所以k＜3t2﹣2t恒成立，

又因?yàn)間（t）=3t2﹣2t在R上最小值為

k＜﹣

【解析】（1）在R上的奇函數(shù)，f（0）=0求參數(shù)；（2）不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，轉(zhuǎn)化為k＜（3t2﹣2t）min求解．