【題目】已知函數(shù).

（1）求證：當(dāng)時，函數(shù)在上，存在唯一的零點；

（2）當(dāng)時，若存在，使得成立，求的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）（0，1）.

【解析】試題分析：（1）先證明函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，再根據(jù)零點存在定理證明上存在零點即可。（2）“若存在，使得成立”轉(zhuǎn)化為

“”，利用導(dǎo)數(shù)可得 ，從而由得，設(shè)g（a）=lna+a﹣1，由g（a）的單調(diào)性可得當(dāng)0＜a＜1時，g（a）＜0，故所求范圍為（0，1）。

試題解析：

（1）證明：∵， ，

∴，

∵，

∴，

∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

又當(dāng)a≤0時， ， ，

所以函數(shù)上存在唯一零點。

（2）由（1）得，

∵a＞0，

∴當(dāng)x∈（0， ）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減。

∴在x=時取得最大值，且最大值為。

“存在”等價于

∴，

∴，

令g（a）=lna+a﹣1

∵g（a）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且g（1）=0，

∴當(dāng)0＜a＜1時，g（a）＜0；當(dāng)a＞1時，g（a）＞0。

∴a的取值范圍為（0，1）。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（某保險公司有一款保險產(chǎn)品的歷史戶獲益率（獲益率=獲益÷保費收入）的頻率分布直方圖如圖所示：

（Ⅰ）試估計平均收益率；
（Ⅱ）根據(jù)經(jīng)驗若每份保單的保費在 元的基礎(chǔ)上每增加 元，對應(yīng)的銷量 （萬份）與 （元）有較強線性相關(guān)關(guān)系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如下 組 與 的對應(yīng)數(shù)據(jù)：

(元)

銷量 （萬份）

（�。└鶕�(jù)數(shù)據(jù)計算出銷量 （萬份）與 （元）的回歸方程為 ；
（ⅱ）若把回歸方程 當(dāng)作 與 的線性關(guān)系，用（Ⅰ）中求出的平均獲益率估計此產(chǎn)品的獲益率，每份保單的保費定為多少元時此產(chǎn)品可獲得最大獲益，并求出該最大獲益.
參考公示：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù) 的定義域為 ，若函數(shù) 滿足下列兩個條件，則稱 在定義域 上是閉函數(shù).① 在 上是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間 ，使 在 上值域為 .如果函數(shù) 為閉函數(shù)，則 的取值范圍是.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量， （），若，且的圖象上兩相鄰對稱軸間的距離為.

（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)的內(nèi)角， ， 的對邊分別為， ， ，且滿足， ， ，求， 的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點為極點， 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的傾斜角；

（2）設(shè)點，直線和曲線交于兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為 ，以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為。

（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程。

（2）設(shè)點P為曲線C上的任意一點，求點P到直線的距離的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率．以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8，面積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點為橢圓上一點，直線的方程為，求證：直線與橢圓有且只有一個交點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正四棱錐中，已知異面直線與所成的角為，給出下面三個命題:

:若，則此四棱錐的側(cè)面積為；

：若分別為的中點，則平面；

:若都在球的表面上，則球的表面積是四邊形面積的倍.

在下列命題中，為真命題的是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】二次函數(shù)的圖象過原點，對，恒有成立，設(shè)數(shù)列滿足．

（I）求證：對，恒有成立；

（II）求函數(shù)的表達(dá)式；

（III）設(shè)數(shù)列前項和為，求的值．

【答案】（I）證明見解析；（II）；(III)2018．

【解析】試題分析：

(1)左右兩側(cè)做差，結(jié)合代數(shù)式的性質(zhì)可證得，即對，恒有：成立；

(2)由已知條件可設(shè)，給定特殊值，令，從而可得：，則，，從而有恒成立，據(jù)此可知，則.

(3)結(jié)合(1)(2)的結(jié)論整理計算可得：，據(jù)此分組求和有：.

試題解析：

（1）（僅當(dāng)時，取“=”）

所以恒有：成立；

（2）由已知條件可設(shè)，則中，令，

從而可得：，所以，即，

又因為恒成立，即恒成立，

當(dāng)時，，不合題意舍去，

當(dāng)時，即，所以，所以.

（3），

所以，

即.

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知函數(shù) 為定義在上的奇函數(shù).

（1）求函數(shù)的值域；

（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值.

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