已知向量
m
=(sinx,
3
sinx),
n
=(sinx,-cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
,
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,若f(A)=0,b+c=7,△ABC的面積為2
3
,求邊a的長(zhǎng).
考點(diǎn):三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理
專題:三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析:(Ⅰ)首先通過(guò)三角函數(shù)的恒等變換,把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)利用上步求得的函數(shù)關(guān)系式,利用定義域和三角形的面積求出角A的大小,進(jìn)一步利用余弦定理求出邊a的值.
解答: 解:(Ⅰ)已知向量
m
=(sinx,
3
sinx),
n
=(sinx,-cosx),
設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n

=sin2x-
3
sinxcosx

=
1-cos2x
2
-
3
2
sin2x

=
1
2
-sin(2x+
π
6
)

所以函數(shù)的最小正周期為:T=
2
,
令:-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
π
2
+2kπ
(k∈Z)
解得:kπ-
π
3
≤x≤
π
6
+kπ

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為:[kπ-
π
3
π
6
+kπ
](k∈Z)
(Ⅱ)由f(x)=
1
2
-sin(2x+
π
6
)

又因?yàn)椋篺(A)=0,0<A<π
所以:
π
6
<2A+
π
6
13π
6

所以:2A+
π
6
=
6

解得:A=
π
3

又△ABC的面積為2
3

所以:
1
2
bcsinA=2
3

解得:bc=8
b+c=7
利用余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA
解得:a=5
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形,正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的確定,利用三角形的角的范圍求出角的大小,余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題型.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,△ABC外一點(diǎn)S,且SA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AM⊥SB,AN⊥SC
(1)求證:SC⊥平面AMN;
(2)如果SA=AC=2,∠BSC=θ,當(dāng)tanθ取何值時(shí),△AMN的面積最大,并求最大值.

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已知
π
4
<α<
π
2
,則
1-2sinαcosα
=
 

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定義表示不超過(guò)x的最大整數(shù)[x],記{x}=x-[x],二次函數(shù)y=-x2+mx-2與函數(shù)y={-x}在(-1,0]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則m的取值范圍是( 。
A、(-
5
2
,-
2
-1)
B、(
4
3
,+∞)
C、∅
D、以上均不正確

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正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為
2
,側(cè)棱長(zhǎng)為2,M是側(cè)棱PC的中點(diǎn),求異面直線AP與BM所成角的大。

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長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=
3
,AA1=
6
,則異面直線BD1與CC1所成的角等于( 。
A、30°B、45°
C、60°D、90°

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