Question

已知直線l的方程為y=mx+2m，曲線C的方程為y=

4-x2

，直線l與曲線C交于A，B兩點，設直線l與曲線C圍成的平面區(qū)域為M，記Ω={(x，y)|

y≥0 y≤ 4-x2

}，向區(qū)域Ω上隨機投一點D，點D落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P（M）．（1）若m=1，求P（M）；
（2）若P(M)∈[

π-2

2π

，1]，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,概率與統(tǒng)計

分析：（1）當m=1時，直線l的方程為：y=x+2．曲線C的方程為x²+y²=4（y≥0），聯(lián)立解得

x=-2 y=0

或

x=0 y=2

．即可得出直線l與曲線C圍成的平面區(qū)域為M的面積S₁=

1

4

×π×22-

1

2

×22，區(qū)域Ω的面積S₂=

1

2

×π×22．利用古典概型的概率計算公式即可得出．
（2）直線l過定點（-2，0），由（1）知，當直線l的斜率m=1時，P(M)=

π-2

π

；當直線l的斜率m=0時，P（M）=1．

解答： 解：（1）當m=1時，直線l的方程為：y=x+2．
曲線C的方程為x²+y²=4（y≥0），聯(lián)立

y=x+2 x2+y2=4(y≥0)

，解得

x=-2 y=0

或

x=0 y=2

．
∴直線l與曲線C圍成的平面區(qū)域為M的面積S₁=

1

4

×π×22-

1

2

×22=π-2，
區(qū)域Ω的面積S₂=

1

2

×π×22=2π．
則可得到P(M)=

π-2

2π

．
（2）直線l過定點（-2，0），由（1）知，當直線l的斜率m=1時，P(M)=

π-2

π

；
當直線l的斜率m=0時，P（M）=1．
∵P(M)∈[

π-2

2π

，1]，∴實數(shù)m的取值范圍是[0，1]．

點評：本題考查了直線與半圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、直線的斜率、古典概型的概率計算公式，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．