Question

已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，圓C關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，圓心在第二象限，半徑為

2

．
（1）求圓C的方程；
（2）已知不過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且與x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心在直線上以及圓的半徑建立方程關(guān)系即可求圓C的方程；
（2）設(shè)直線的截距式方程為x+y=a，利用直線和圓相切建立方程關(guān)系即可．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²+Dx+3=0的坐標(biāo)C（-

D

2

，-

E

2

），
∵圓C關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，
∴C（-

D

2

，-

E

2

）在直線x+y-1=0上，
即-

D

2

-

E

2

-1=0，即D+E+2=0，
半徑R=

D2+E2-12

2

=

2

，
即D²+E²=20，
解得

D=-4 E=2

或

D=2 E=-4

，此時(shí)圓心為（-4，2），或（2，-4），
∵圓心在第二象限，∴圓心坐標(biāo)為（-4，2），
則圓C的方程為（x+4）²+（y-2）²=2．
（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)直線截距相等的直線方程為x+y=a，即x+y-a=0，
則圓心到直線的距離d=

|-4+2-a|

2

=

|a+2|

2

=

2

，
即|a+2|=2，解得a=0或a=-4，
故直線方程為x+y=0或x+y+4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)直線和圓相切，建立條件關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．