Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且對一切正整數(shù)都有.

（1）求證：；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）是否存在實數(shù)，使不等式，對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在；的取值范圍是.

【解析】

（1）由題得①，②，②－①即得；

（2）由題得.，再對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，求出數(shù)列的通項公式；

（3）令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最大值，解不等式即得解.

（1）證明：∵①，

∴②

由②－①得，

∴.

（2）∵③

∴，④

④－③，得.

從而數(shù)列的奇數(shù)項依次成等差數(shù)列，且首項為，公差為；

數(shù)列的偶數(shù)項也依次成等差數(shù)列，且首項為，公差為.

在①中令得，又∵，∴.

在③中令得，∴.

∴當(dāng)時，，；

∴當(dāng)時，，；

綜上所述，.

（3）令，則

且

∴，

∴單調(diào)遞減，

∴.

∴不等式對一切正整數(shù)都成立等價于對一切正整數(shù)都成立，

等價于，即.

∴，即，

解之得，或.

綜上所述，存在實數(shù)的適合題意，的取值范圍是.