Question

如圖，在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又頂點A₁在底面ABC上的射影落在AC上，側(cè)棱AA₁與底面成60°的角，D為AC中點.

(1)求證：AA₁⊥BD；

(2)(理)若面A₁DB⊥面DC₁B，求側(cè)棱AA₁之長.

(文)若側(cè)棱長AA₁=，求證：A₁D⊥平面BDC₁.

Answer 1

答案：(1)證明：在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，因為A₁在底面ABC上射影落在AC上，

則平面A₁ACC₁經(jīng)過底面ABC的垂線.故側(cè)面A₁C⊥面ABC，又BD為等腰△ABC底邊AC上中線，則BD⊥AC，從而BD⊥面AC.∴BD⊥面A₁C.又AA₁面A₁C,∴AA₁⊥BD.6分

(2)(理)解:在底面ABC中△ABC是等腰三角形，D為底邊AC上的中點，

故DB⊥AC.又面ABC⊥面A₁C，∴DB⊥面A₁C，則DB⊥DA₁，DB⊥DC₁，則∠A₁DC₁是二面角A₁OBC₁的平面角.∵面A₁DB⊥面DC₁B，則∠A₁DC₁=90°.將平面A₁ACC₁放在平面坐標(biāo)系中(如上圖).∵側(cè)棱AA₁和底面成60°的角，∴∠A₁AC=60°.設(shè)A₁A=a.

則A₁(,a)、C₁(+2,a)、A(0,0)、C(2,0),AC中點D(，0).

由=0,知(-,a)·(+,a)=0.∴a²=3,a=.

故所求側(cè)棱AA₁長為.

(文)證明：在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，則由余弦定理可知AC=2，

D為AC中點,故AD=DC=.∵AA₁和底面ABC所成角為60°，則∠AA₁C=60°.

在?A₁ACC₁中，A₁A=AD=，∠A₁AD=60°,∴A₁D=,D=()²+()²-2··cos120°=9.又A₁C₁=2,

在△A₁C₁D中,由勾股定理可知∠A₁DC₁=90°,∴A₁D⊥DC₁.又由(1),可知BD⊥面A₁C，則BD⊥A₁D，因此A₁D和面BDC₁內(nèi)兩相交直線BD與DC₁均垂直，∴A₁D⊥面DBC₁.