Question

（2008•武漢模擬）如圖，在斜三棱柱ABC-A'B'C'中，∠ABC=90°，則側面A'ACC'⊥側面ABC，又AA'和底面所成60°的角，且AA'=2a，AB=BC=

2

a．
（1）求平面ABB'A'與底面ABC所成的角的正切值；
（2）求側面BB'C'C的面積．

Answer 1

分析：（1）求平面ABB'A'與底面ABC所成的角的正切值，首先要做出二面角的平面角，再根據它所在的三角形的特征求出角的正切，本題中側面A₁ACC₁⊥面ABC，過A₁向底面ABC作垂線于垂足H，則H在AC上，再在面ABC內，過H向AB作垂線于垂足D，連接A₁D，則∠A₁DH是面A₁ABB₁與底ABC所成二面角的平面角，解三角形求出此角的正切值即可得到答案；
（2）由于平行四邊形的面積是一邊乘以這邊上的高或者相鄰兩邊與它們夾角的正弦的乘積，考查本題的圖形及題設條件，由四邊形的邊長易知，且兩鄰邊夾角的正弦值易知，故可用相鄰兩邊與它們夾角的正弦的乘積求側面BB'C'C的面積

解答：解：（1）∵側面A₁ACC₁⊥面ABC．
過A₁向底面ABC作垂線于垂足H，則H在AC上
又AA₁和底面ABC所成角為60°∴∠A₁AC=60°，又AA₁=2a
故A1H=

3

a，AH=a
再在面ABC內，過H向AB作垂線于垂足D，連接A₁D
則∠A₁DH是面A₁ABB₁與底ABC所成二面角的平面角
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=

2

a
則∠CAB=45°，AC=2a，從而DH=

2

2

a
在△A₁HD中，tan∠A1DH=

3 a

2 2 a

=

6

…（6分）
（2）過C₁向AC的延長線作垂線于垂足M，則C₁M⊥面ABC在△BCM中，BC=

2

aCM=a，∠BCM=135°
∴BM2=(

2

a)2+a2-2•

2

a•a•cos135°=5a2
在Rt△BC₁M中，，BC₁²=BM²+C₁M²=8a²
在平行四邊形BCC₁B₁中，cos∠BCC1=

BC2+C C 2 1 -B C 2 1

2BC•CC1

=-

2

4

即sin∠BCC1=

14

4

從而□BCC₁B₁的面積S=BC•CC1•sin∠BCC1=

7

a2．…（12分）

點評：本題是一個與二面角有關的立體幾何綜合題，解題的關鍵是了解幾何體的幾何特征，根據其幾何特征選擇求二面角求面積的方法，本題第一小題要注意二面角平面角的做法，分為三步，作、證、求，做題時要注意不要忘記第二步的證明，第二小題求面積時根據題設條件選擇相應的求面積公式很重要，本題中由于四邊形的角易求，故選擇了兩邊一夾角正弦的乘積這一方法，本題難度較大，做題時要細心謹慎