Question

如圖，設拋物線方程為x²＝2py(p＞0)，M為直線y＝－2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．

(Ⅰ)求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；

(Ⅱ)已知當M點的坐標為(2，－2p)時，求此時拋物線的方程；

(Ⅲ)是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線x²＝2py(p＞0)上，其中點C滿足(O為坐標原點)．若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

標準答案： 　　(Ⅰ)證明：由題意設． 　　由得，則， 　　所以，． 　　因此直線的方程為， 　　直線的方程為． 　　所以，　�、� 　　．　�、� 　　由①、②得， 　　因此，即． 　　所以三點的橫坐標成等差數(shù)列． 　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，當時， 　　將其代入①、②并整理得： 　　， 　　， 　　所以是方程的兩根， 　　因此，， 　　又， 　　所以． 　　由弦長公式得． 　　又，所以或， 　　因此所求拋物線方程為或． 　　(Ⅲ)解：設，由題意得， 　　則的中點坐標為， 　　設直線的方程為， 　　由點在直線上，并注意到點也在直線上， 　　代入得． 　　若在拋物線上，則， 　　因此或． 　　即或． 　　(1)當時，則，此時，點適合題意． 　　(2)當，對于，此時，， 　　又，， 　　所以， 　　即，矛盾． 　　對于，因為，此時直線平行于軸， 　　又， 　　所以直線與直線不垂直，與題設矛盾， 　　所以時，不存在符合題意的點． 　　綜上所述，僅存在一點適合題意． 　　試題分析：(Ⅰ)設要“千方百計”求得； 　　(Ⅱ)利用弦長公式求的關于的關系式，從而解出，要注意有兩條拋物線； 　　(Ⅲ)這個條件富含很多“養(yǎng)分”，如，都是源于這一重要的條件，此外還要注意分類討論． 　　高考考點：直線和圓錐曲線的位置關系

提示：

解析幾何問題有很強的程序性，題目的類型也相對集中，如弦長、中點弦、動點軌跡、定點與定值、取值與最值、圓錐曲線與向量等問題，計算繁瑣但有序．只要掌握圓錐曲線的定義和性質明確解決直線與圓錐曲線位置關系的思想方法，溝通知識間的橫縱聯(lián)系，借助方程與不等式以及向量工具，適當選擇數(shù)形結合思想、轉化思想，很多相關問題就能迎難而解．