Question

如圖甲，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)．線(xiàn)段AG交線(xiàn)段ED于F點(diǎn)，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體．
（Ⅰ）求證BC⊥平面AFG；
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線(xiàn)與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC，DE⊥平面AFG．由此能夠證明BC⊥平面AFG．
（Ⅱ） 以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以FG，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在的直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AE-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在圖甲中，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，
E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，
∴DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC．…（2分）
在圖乙中，
∵DE⊥AF，DE⊥GF，AF∩FG=F，∴DE⊥平面AFG．
又∵DE∥BC，∴BC⊥平面AFG．…（4分）
（Ⅱ）∵平面AED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，
∴FA，F(xiàn)D，F(xiàn)G兩兩垂直．
以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以FG，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在的直線(xiàn)為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz．
則由題意知：A(0，0，2

3

)，B(

3

，-3，0)，E（0，-2，0），
∴

AB

=(

3

，-3，-2

3

)，

BE

=(-

3

，1，0）．…（6分）
設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)．
則

n • AB =0 n • BE =0

，∴

3 x-3y-2 3 z=0 - 3 x+y=0

，
取x=1，則y=

3

，z=-1，∴

n

=(1，

3

，-1)．…（8分）
顯然

m

=(1，0，0)為平面ADE的一個(gè)法向量，
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

5

5

．…（10分）
∵二面角B-AE-D為鈍角，
∴二面角B-AE-D的余弦值為-

5

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用．