Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）設(shè)BD=1，求三棱錐D-ABC的表面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）翻折后，直線AD與直線DC、DB都垂直，可得直線與平面BDC垂直，再結(jié)合AD是平面ADB內(nèi)的直線，可得平面ADB與平面垂直；
（Ⅱ）根據(jù)圖形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等邊三角形，利用三角形面積公式可得三棱錐D-ABC的表面積．

解答：解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD．
∴平面ADB⊥平面BDC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，
∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=

2

，
從而S△ADB=S△DBC=S△ADC=

1

2

×1×1=

1

2

S△ABC=

1

2

×

2

× 

2

sin60°=

3

2

所以三棱錐D-ABC的表面積為：S表=

1

2

×3+

3

2

=

3+ 3

2

點評：解決平面圖形翻折問題的關(guān)鍵是看準(zhǔn)翻折后沒有發(fā)生變化的位置關(guān)系，抓住翻折后仍然垂直的直線作為條件，從而解決問題．