Question

已知拋物線C：y²=8x，過點(diǎn)P（2，0）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

OA

•

OB

的值為（　　）

• A、-16
• B、-12
• C、4
• D、0

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線y²=8x與過其焦點(diǎn)（2，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達(dá)定理可以求得答案．

解答： 解：由題意知，拋物線y²=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），∴直線AB的方程為y=k（x-2），
由

y2=8x y=k(x-2)

得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁•x₂=4，x₁+x₂=

4k2+8

k2

y₁•y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²[4-2×

4k2+8

k2

+4]=-16
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=4-16=-12，
故選B．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過其焦點(diǎn)的直線方程，利用韋達(dá)定理予以解決，屬于中檔題．