Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意正數(shù)，證明：。

Answer 1

（1）在中單調(diào)遞增，而在中單調(diào)遞減。
（2）證明見解析。

（1）當(dāng)時(shí)，，求得，
于是當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，。
即在中單調(diào)遞增，而在中單調(diào)遞減。
（2）.對(duì)任意給定的，，由 ，
若令，則  … ① ，而    …  ②
（一）、先證；因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823134616567438.gif" style="vertical-align:middle;" />，，，
又由 ，得．
所以
．
（二）、再證；由①、②式中關(guān)于的對(duì)稱性，不妨設(shè)．則
（�。�、當(dāng)，則，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823134617066374.gif" style="vertical-align:middle;" />，
，此時(shí)．
（ⅱ）、當(dāng) …③，由①得 ,，，
因?yàn)?nbsp; 所以  … ④
同理得 …  ⑤ ，于是  … ⑥
今證明  …  ⑦, 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823134617253978.gif" style="vertical-align:middle;" /> ，
只要證 ，即，也即，據(jù)③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得．
綜上所述，對(duì)任何正數(shù)，皆有．