Question

已知直線(xiàn)l₁：ax-2y-2a+4=0，l₂：2x+a²y-2a²-4=0，其中0＜a＜2，當(dāng)l₁，l₂與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積最小時(shí)，求l₁與l₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)的一般式方程

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：對(duì)于直線(xiàn)l₁：ax-2y-2a+4=0，分別令x=0，y=0 可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A，B．對(duì)于l₂：2x+a²y-2a²-4=0，分別令x=0，y=0 可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)C，D．可得l₁，l₂與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積S=

1

2

|AC||BD|，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵0＜a＜2，對(duì)于直線(xiàn)l₁：ax-2y-2a+4=0，分別令x=0，y=0 可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A（0，2-a），B(

2a-4

a

，0)．
對(duì)于l₂：2x+a²y-2a²-4=0，分別令x=0，y=0 可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，C(0，2+

4

a2

)，D（a²+2，0）．
∴l(xiāng)₁，l₂與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積S=

1

2

|AC||BD|=

1

2

|(a+

4

a2

)(a2+

4

a

)|=

1

2

(a3+

16

a3

+8)≥

1

2

(2

a3• 16 a3

+8)=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=

3	4

時(shí)取等號(hào)．
∴l(xiāng)₁與l₂的方程分別為：

3	4

x-2y-2

3	4

+4=0；2x+

3	16

y-2

3	16

-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、四邊形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．