Question

已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可求得≤≤2，而5×-3≤≤4×-1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，從而≥，設函數f（x）=（x＞1），利用其導數可求得f（x）的極小值，也就是的最小值，于是問題解決．
解答：解：∵4c-a≥b＞0
∴＞，
∵5c-3a≤4c-a，
∴≤2．
從而 ≤2×4-1=7，特別當=7時，第二個不等式成立．等號成立當且僅當a：b：c=1：7：2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤cln，
從而≥，設函數f（x）=（x＞1），
∵f′（x）=，當0＜x＜e時，f′（x）＜0，當x＞e時，f′（x）＞0，當x=e時，f′（x）=0，
∴當x=e時，f（x）取到極小值，也是最小值．
∴f（x）_min=f（e）==e．
等號當且僅當=e，=e成立．代入第一個不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，從而e可以取得．等號成立當且僅當a：b：c=1：e：1．
從而的取值范圍是[e，7]雙閉區(qū)間．
點評：本題考查不等式的綜合應用，得到≥，通過構造函數求的最小值是關鍵，也是難點，考查分析與轉化、構造函數解決問題的能力，屬于難題．