Question

【題目】設(shè)定義在（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=6．若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一個(gè)解，且 ，則a=（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】D
【解析】根據(jù)題意，對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）﹣log2x為定值，
設(shè)t=f（x）﹣log2x，則f（x）=t+log2x
又由f（t）=6，可得t+log2t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）= ，
又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一個(gè)解，
所以x0是函數(shù)F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣ 的零點(diǎn)，
分析易得F（1）=﹣ ＜0，F(xiàn)（2）=1﹣ =1﹣ ＞0，
故函數(shù)F（x）的零點(diǎn)介于（1，2）之間，故a=1，
所以答案是：1
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．