Question

在平面直角坐標系xoy中，設二次函數f（x）=x²+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點．經過這三個交點的圓記為C．
（I）求實數b的取值范圍；
（II）求圓C的一般方程；
（III）圓C是否經過某個定點（其坐標與b無關）？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）令x=0得拋物線與y軸交點（0，b），令f（x）=x²+2x+b，由題意b≠0，且△=4-4b＞0，解得實數b的
取值范圍．
（II）設所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x²+Dx+F=0，這與x²+2x+b=0是同一個方程，
故D=2，F=b．令x=0得，y²+Ey+F=0，此方程有一個根為b，代入得出E=-b-1，由此求得圓C的一般方程．
（III）圓C過定點（0，1）和（-2，1），證明：法1，直接將點的坐標代入驗證．
法2，圓C的方程改寫為x²+y²+2x-y-b（y-1）=0，令

x2+y2+2x-y=0 y=1

，求出定點的坐標．

解答：解：（I）令x=0得拋物線與y軸交點是（0，b）；令f（x）=x²+2x+b，由題意b≠0，
且△=4-4b＞0，解得b＜1，且b≠0．
即實數b的取值范圍 {b|b＜1，且b≠0 }．
（II）設所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則此圓和坐標軸有3個交點，
即f（x）=x²+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標軸的三個交點．
令y=0得，x²+Dx+F=0，由題意可得，這與x²+2x+b=0是同一個方程，故D=2，F=b．
令x=0得，y²+Ey+F=0，由題意可得，此方程有一個根為b，代入此方程得出E=-b-1，
所以圓C的一般方程為  x²+y²+2x-（b+1）y+b=0．
（III）圓C過定點（0，1）和（-2，1）． 證明如下：
法1，直接將點的坐標代入驗證，可得點（0，1）和（-2，1）的坐標是
圓的方程 x²+y²+2x-（b+1）y+b=0 的解，
故圓C過定點（0，1）和（-2，1）．
法2，圓C的方程改寫為x²+y²+2x-y-b（y-1）=0，令

x2+y2+2x-y=0 y=1

，
解得

x=0 y=1

或

x=-2 y=1

，故圓C 過定點（0，1）和（-2，1）．

點評：本題主要考查求圓的方程，本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．