Question

【題目】如圖，直三棱柱的所有棱長都是2，，分別是，的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）取的中點，連接，以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得，證得，，即可求解；

（2）由（1）得到，即為平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解；

（3）求得平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）如圖所示，取的中點，連接，

由直三棱柱的所有棱長都是2，是中點，，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

由分別為的中點，可得,可得，，兩兩垂直.

以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

可得，，

∵，，∴，，

又，∴平面.

（2）由（1）可得平面，則，即為平面的一個法向量，

又由，

設直線與平面所成的角為，

可得，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3）設平面的法向量，

因為，可得 ，即，

不妨取，得.

設二面角的平面角為，

由，

所以二面角的余弦值為.