Question

函數(shù)f（x）=-x³+x²+x+m．
（1）當m=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）m=0時，f（x）=-x³+x²+x，得f′（x）=-3x²+2x+1，令f′（x）＞0，解得：-

1

3

＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，或x＜-

1

3

，從而函數(shù)的增區(qū)間為(-

1

3

，1)，減區(qū)間為(-∞，-

1

3

)，(1，+∞)
（2）由（1）可得：f(-

1

3

)=m-

5

27

，f（1）=m+1，由題意得不等式組解出即可．

解答： 解：（1）m=0時，f（x）=-x³+x²+x，
∴f′（x）=-3x²+2x+1，
令f′（x）＞0，解得：-

1

3

＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，或x＜-

1

3

，
∴函數(shù)的增區(qū)間為(-

1

3

，1)，減區(qū)間為(-∞，-

1

3

)，(1，+∞)
 （2）由（1）可得：f(-

1

3

)=m-

5

27

，f（1）=m+1，
若函數(shù)f（x）有三個零點，
畫出草圖，如圖示：
，
需滿足極小值小于0，極大值大于0，
則：

f(- 1 3 )=m- 5 27 ＜0 f(1)=m+1＞0

，
∴-1＜m＜

5

27

．

點評：本題考察了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，是一道基礎題．