Question

若拋物線y=x²上存在兩點關于直線l：y=m（x-3）對稱，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：

分析：由題意作圖可知m＜0，設點A（a，a²），B（b，b²）（a≠b）在拋物線y=x²上，且關于直線l對稱，則

b2-a2 b-a •m=-1 b2+a2 2 =m( a+b 2 -3)

，從而化簡可得2b²+

2

m

b+

1

m2

+1+6m=0有兩個不相同的根，從而得△=（

2

m

）²-4×2×（

1

m2

+1+6m）＞0，化簡可得12m³+2m²+1＜0，令f（m）=12m³+2m²+1，由導數可求得f（m）在（-∞，-

1

9

）上單調遞增，在（-

1

9

，0）上單調遞減，且f（0）=1，從而可得12m³+2m²+1＜0的解在（-∞，-

1

9

）上，再由f（-

1

2

）=12×（-

1

2

）³+2（-

1

2

）²+1=0得到m＜-

1

2

．

解答： 解：由題意可得圖如右，m＜0，
設點A（a，a²），B（b，b²）（a≠b）在拋物線y=x²上，
且關于直線l對稱，
則

b2-a2 b-a •m=-1 b2+a2 2 =m( a+b 2 -3)

，
即（-

1

m

-b）²+b²=m（-

1

m

-b+b-6），
即2b²+

2

m

b+

1

m2

+1+6m=0，
則由題意可得，方程有兩個不相同的根，
故△=（

2

m

）²-4×2×（

1

m2

+1+6m）＞0，
即12m³+2m²+1＜0，
令f（m）=12m³+2m²+1，
則f′（m）=36m²+4m=4m（9m+1），
故f（m）在（-∞，-

1

9

）上單調遞增，在（-

1

9

，0）上單調遞減，
且f（0）=1，
故12m³+2m²+1＜0的解在（-∞，-

1

9

）上，
又∵f（-

1

2

）=12×（-

1

2

）³+2（-

1

2

）²+1=0，
故m＜-

1

2

，
故答案為：m＜-

1

2

．

點評：本題綜合考查了函數圖象的對稱性與導數的應用，屬于難題．