Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡可得函數(shù)解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得到函數(shù)g（x）=2cosx，結(jié)合范圍x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）f（x）=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+$\sqrt{3}$•（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]（k∈Z）…6分
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$），
再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）=2cosx，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴x=0時(shí)，g（x）_max=2，x=$\frac{2π}{3}$時(shí)，g（x）_min=-1．
∴函數(shù)y=g（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域?yàn)椋篬-1，2]…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．