Question

如圖，點(diǎn)A，B，C是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1的三個頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的左、右焦點(diǎn)，P是M上一點(diǎn)，且PF₂⊥OB．則下列命題：
①存在a，b使得△AF₂P為等腰直角三角形
②存在a，b使得△F₁F₂P為等腰直角三角形
③存在a，b使得△OF₂P為等腰直角三角形
④存在a，b使得△BF₂P為等腰直角三角形
其中真命題的個數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：利用橢圓的長軸，短軸，焦距的數(shù)量關(guān)系判定①②的正誤；利用F₂P與c的關(guān)系判定③④的正誤，得到選項．

解答：解：由題意可知F₂P＜b＜a，所以存在a，b使得△AF₂P為等腰直角三角形不可能，①是錯誤的；
當(dāng)2c=F₂P時，即滿足2c=

b2

a

，a=(1+

2

)c時，△F₁F₂P為等腰直角三角形，所以②正確．
存在a，b使得△OF₂P為等腰直角三角形，只需c=F₂P即可，所以③正確．
只需BF₂=F₂P，即a-c=F₂P可得出a=c，而a＞c矛盾，所以④不正確．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查題意的基本性質(zhì)，長軸、短軸、焦距、通經(jīng)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力．