Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求函數(shù)的最小值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）不存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，存在，不等式成立，理由見解析.

【解析】

(1)利用二次不等式解集的性質(zhì)與韋達(dá)定理求解得,再代入了與基本不等式求最值即可.

(2)由題可知若存在則,根據(jù)對(duì)數(shù)不等式性質(zhì)可知,再分析二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求得的最值分析即可.

（1）依題意得,2和3是方程的兩根

由韋達(dá)定理可知：

∴

又∵,∴

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

所以的最小值為.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,存在,不等式成立

∴

∵時(shí),,∴

∴在成立

記,其對(duì)稱軸為,

①當(dāng),即時(shí),

由,∴…

②當(dāng),即時(shí),

由,∴

綜上所述,不存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,存在,不等式成立.