Question

（1）sin210°+cos240°+sin10°•cos40°=

3

4

；
（2）sin26°+cos236°+sin6°•cos36°=

3

4

；
（3）sin222°+cos252°+sin22°•cos52°=

3

4

．
（4）sin215°+cos245°+sin15°•cos45°=

3

4

．
由上面各題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想？

Answer 1

分析：考察四個(gè)等式，每個(gè)等式中兩個(gè)角的關(guān)系都大角與小角的差是30°，由它們的形式可以猜想sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α)=

3

4

，再由三角函數(shù)的公式證明結(jié)論即可．

解答：解：考察四個(gè)等式發(fā)現(xiàn)，每個(gè)等式中兩個(gè)角的關(guān)系都大角與小角的差是30°
由此猜想sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α)=

3

4

，證明如下：

sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α) =sin2α+( 3 2 cosα- 1 2 sinα)2+sinα•( 3 2 cosα- 1 2 sinα) =sin2α+ 1 4 sin2α- 1 2 sin2α+ 3 4 cos2α- 3 2 sinαcosα+ 3 2 sinαcosα = 3 4 (sin2α+cos2α) = 3 4

故有sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α)=

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理及三角恒等變換，解題的關(guān)鍵是歸納出四個(gè)方程的共性，從而猜想出結(jié)論，再由三角函數(shù)的相關(guān)公式給出證明，本題有一定的探究性，屬于中檔題，考查了分析歸納的能力