Question

如圖所示，已知△OFQ的面積為S，且

OF

•

FQ

=1，設(shè)|

OF

|=c，S=

14

4

c，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求|

OQ

|最小時(shí)此雙曲線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：以O(shè)為原點(diǎn)，OF所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，并令Q（m，n），則F（c，0），由題設(shè)知

OF

•

FQ

=c（m-c）=1．m=c+

1

c

，Q（c+

1

c

，

14

2

）．由此知|

OQ

|²=（c+

1

c

）²+

7

2

，由此入手，當(dāng)||

OQ

|取最小值時(shí)，能夠求出雙曲線的方程．

解答： 解：以O(shè)為原點(diǎn)，OF所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
∵|

OF

|=c，
∴F（c，0），
并令Q（m，n），
則S=

14

4

c=

1

2

cn，
∴n=

14

2

．
∵

OF

=（c，0），

FQ

=（m-c，n）=（m-c，

14

2

），
∴

OF

•

FQ

=c（m-c）=1．
∴m=c+

1

c

，
∴Q（c+

1

c

，

14

2

）．
∴|

OQ

|²=（c+

1

c

）²+

7

2

，
∵c+

1

c

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)c=1時(shí)，|

OQ

|²取最小值

15

2

，即|

OQ

|取最小時(shí)
此時(shí)Q（2，

14

2

），
設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴

a2+b2=1 4 a2 - 7 2 b2 =1

，
∴a²=

1

2

，b²=

1

2

．
∴所求雙曲線的方程為

x2

1 2

-

y2

1 2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意積累解題方法．