Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù) .

(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)f(x)滿足：對于區(qū)間(2,+∞)上使函數(shù)f(x)有意義的一切x，都有f(x)≥0.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)由4-a^x≥0,得a^x≤4.

當(dāng)a>1時，x≤log_a4;   當(dāng)0<a<1時，x≥log_a4.

即當(dāng)a>1時，f(x)的定義域?yàn)椋?∞,log_a4］;當(dāng)0<a<1時，f(x)的定義域?yàn)椋踠og_a4,+∞）.

令t=,則0≤t<2,且a^x=4-t²,?

∴f(x)=4-t²-2t-1=-(t+1)²+4, 當(dāng)t≥0時，f(x)是t的單調(diào)減函數(shù),

∴f(2)<f(x)≤f(0),即-5<f(x)≤3.∴函數(shù)f(x)的值域是（-5，3］    .----------6分

（2）若存在實(shí)數(shù)a使得對于區(qū)間（2，+∞）上使函數(shù)f(x)有意義的一切x,都有?f(x)≥0,則區(qū)間（2,+∞）是定義域的子集.由(1)知，a>1不滿足條件；若0<a<1,則log_a4<2,且f(x)是x的減函數(shù).

當(dāng)x>2時，a^x<a².由于0<a²<1,    ∴t=

∴f(x)<0,即f(x)≥0不成立.

綜上滿足條件的a不存在.                    ------------------12分

【解析】略