Question

【題目】設(shè)是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于，且所有數(shù)的和為零，記為所有這樣的數(shù)表組成的集合，對于，記為的第行各數(shù)之和（剟 ），為的第列各數(shù)之和（剟），記為， ， ， ， ， ， ， 中的最小值．

（）對如下數(shù)表，求的值．

（）設(shè)數(shù)表形如：

求的最大值．

（）給定正整數(shù)，對于所有的，求的最大值．

Answer 1

【答案】（）．（）．（），

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目對新數(shù)表A和的定義代入已知數(shù)值即可得到的值；

（2）本問直接求的最大值比較困難，但可先做猜想，然后采用反證法證明即可得最大值為1；

（3）此問也是先根據(jù)特殊猜想的值，然后通過構(gòu)造滿足題意的A，后面在證明所取的值即為最大值時采用反證法。

試題解析：（）由題意可知， ， ， ， ，

∴．

（）先用反證法證明，

若，則，

∴，

同理，

∴，

由題目所有數(shù)之和為，即，

∴，與題目條件矛盾，

∴，

易知當時， 存在，

∴的最大值是．

（）的最大值是，

首先構(gòu)造滿足的，

， ，

， ，

經(jīng)計算知， 中每個元素的絕對值都小于，所有元素之和為，且 ，

，

，

下面證明是最大值，若不然，則存在一個數(shù)表，使得，

由的定義知的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過的數(shù)的和，其絕對值不超過，故的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間中，由于，故的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于．

設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設(shè)，則， ，另外，由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負．

考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個正數(shù)和不少于個負數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過（即每個正數(shù)均不超過），每個負數(shù)的絕對值不小于（即每個負數(shù)均不超過），因此

，

故的第一行行和的絕對值小于，與假設(shè)矛盾．因此的最大值為．