Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為-1．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時，e^x＞x²．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，再利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x²，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
當(dāng)x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）無極大值．
（Ⅱ）證明：令g（x）=e^x-x²，則g′（x）=e^x-2x，
由（Ⅰ）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x．

點評：該題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想．