Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₂=3，2S_n-na_n-n=0（n∈N^*））
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記，求證：當n∈N^*時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)2S_n-na_n-n=0，再寫一式，兩式相減可得na_n-（n-1）a_n+1=1，當n=1時，a₁=1；當n≥2時，兩邊同除以n（n-1）得-=，利用疊加法即可確定數(shù)列的通項；
（2）用分析法證明不等式，由（1）知，=，從而不等式等價于，即證明，利用可得結(jié)論．
解答：解：（1）∵2S_n-na_n-n=0，2S_n+1-（n+1）a_n+1-（n+1）=0
兩式相減得2a_n+1-（n+1）a_n+1+na_n-1=0=1
∴na_n-（n-1）a_n+1=1
當n=1時，a₁=1；
當n≥2時，兩邊同除以n（n-1）得-=
∴利用疊加法可得
∴
∴n≥2時，a_n=2n-1，當n=1時，也成立
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知，=
從而不等式等價于
即證明
又∵
∴，，…，
∴
即有
故成立
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是利用疊加法求數(shù)列的通項，利用放縮法證明不等式．