Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ ，且函數(shù)y=f（x）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
（1）求m的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并加以證明；
（3）證明：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數(shù)f（x）=x+ 的圖像過點(diǎn)（1，2），

得2=1+ ，

解得m=1

（2）解：由（1）知，f（x）=x+ ，

定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）具有對稱性，

且f（﹣x）=﹣x+ =﹣（x+ ）=﹣f（x），

所以f（x）為奇函數(shù)

（3）證明：設(shè)1＜x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)

【解析】（1）由函數(shù)f（x）圖像過點(diǎn)（1，2），代入解析式求出m的值；（2）利用奇偶性的定義判斷f（x）為定義域上的奇函數(shù)；（3）利用單調(diào)性的定義可證明f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．