Question

【題目】如圖，平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點.

（1）求異面直線EG與BD所成角的大小；

（2）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離恰為？若存在，求出線段CQ的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）線段CQ的長度為 .

【解析】

（1）以點A為坐標原點，射線AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示，寫出點E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量 ，的坐標，利用異面直線EG與BD所成角公式求出異面直線EG與BD所成角大小即可；

（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即先假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足條件，設(shè)點Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量為 ，再點A到平面EFQ的距離，求出x0，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解：（1）以點A為坐標原點，射線AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系如圖示，點E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），

則 ，．

設(shè)異面直線EG與BD所成角為θ，

所以異面直

線EG與BD所成角大小為 ．

（2）假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足條件，

設(shè)點Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量為 ，

則有 得到y＝0，z＝xx0，取x＝1，

所以 ，

則 ，

又x0＞0，解得 ，

所以點 即 ，

則 ．

所以在線段CD上存在一點Q滿足條件，且線段CQ的長度為 ．