Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為e=

3

2

且與雙曲線C₂：

x2

b2

-

y2

b2+1

=1有共同焦點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）在橢圓C₁落在第一象限的圖象上任取一點作C₁的切線l，求l與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設橢圓C₁的左、右頂點分別為A，B，過橢圓C₁上的一點D作x軸的垂線交x軸于點E，若C點滿足

AB

⊥

BC

，

AD

∥

OC

，連結AC交DE于點P，求證：PD=PE．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由橢圓的離心率e=

3

2

，得到a²=4b²，再結合橢圓與雙曲線有共同的交點及隱含條件解得a²，4b²，則橢圓的方程可求；
（2）由題意設出切線方程y=kx+m（k＜0），和橢圓方程聯(lián)立后由方程僅有一個實根得到方程的判別式等于0，即得到k與m的關系，求出直線在x軸和y軸上的截距，代入三角形的面積公式后化為含有k的代數式，然后利用基本不等式求最值；
（3）求出A，B的坐標，設出D，E，C的坐標，結合條件

AB

⊥

BC

，

AD

∥

OC

可得D，E，C的坐標的關系，把AC，
DE的方程都用D點的坐標表示，求解交點P的坐標，由坐標可得P為DE的中點．

解答： （1）解：由e=

3

2

，可得：

c

a

=

3

2

，即

c2

a2

=

3

4

，
∴

a2-b2

a2

=

3

4

，a²=4b²   ①
又∵c²=2b²+1，即a²-b²=2b²+1  ②
聯(lián)立①②解得：a²=4，b²=1，
∴橢圓C₁的方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）解：∵l與橢圓C₁相切于第一象限內的一點，
∴直線l的斜率必存在且為負，
設直線l的方程為：y=kx+m（k＜0），
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消去y整理可得：
(k2+

1

4

)x2+2kmx+m2-1=0  ③
根據題意可得方程③只有一實根，
∴△=(2km)2-4(k2+

1

4

)(m2-1)=0，
整理可得：m²=4k²+1  ④
∵直線l與兩坐標軸的交點分別為(-

m

k

，0)，(0，m)且k＜0，
∴l(xiāng)與坐標軸圍成的三角形的面積S=

1

2

•

m2

-k

  ⑤
④代入⑤可得：S=(-2k)+

1

-2k

≥2（當且僅當k=-

1

2

時取等號）；
（3）證明：由（1）得A（-2，0），B（2，0），
設D（x₀，y₀），∴E（x₀，0），
∵

AB

⊥

BC

，
∴可設C（2，y₁），
∴

AD

=(x0+2，y0)，

OC

=(2，y1)，
由

AD

∥

OC

可得：（x₀+2）y₁=2y₀，即y1=

2y0

x0+2

，
∴直線AC的方程為：

y

2y0 x0+2

=

x+2

4

，整理得：y=

y0

2(x0+2)

(x+2)，
點P在DE上，令x=x₀代入直線AC的方程可得：y=

y0

2

，
即點P的坐標為(x0，

y0

2

)，
∴P為DE的中點
∴PD=DE．

點評：本題考查了橢圓的標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了直線與圓錐曲線相切的條件，訓練了利用基本不等式求最值，對于（3）的證明體現了整體運算思想方法，屬難度較大的題目．