Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如下圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道，車(chē)道總寬20 m，要求通行車(chē)輛限高5 m，隧道全長(zhǎng)2.5 km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線(xiàn)近似地看成半個(gè)橢圓．

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？

（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h和拱寬l？

（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高.）

（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線(xiàn)上找兩個(gè)點(diǎn)M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點(diǎn)為支點(diǎn)，用合金鋼板把隧道拱線(xiàn)部分連接封閉，形成一個(gè)梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價(jià)是梯形頂部單位面積鋼板造價(jià)的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價(jià)最少.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   拱高為(+3)m、拱寬為20m（Ⅲ）

解析:

如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（10， 2），

橢圓方程為+=1.將b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，此時(shí)l=2a=,因此隧道的拱寬約為 m.

（2） 要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢

圓的面積最小即可．由橢圓方程+=1，得+=1.因?yàn)?img width=28 height=44 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/199/171399.gif" >+≥，即ab≥40，所以半橢圓面積S=≥當(dāng)S取最小值時(shí)，有==，得a=10，b=.

此時(shí)l=2a=20，  h=b+3=+3…故當(dāng)拱高為(+3)m、拱寬為20m時(shí)，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小……13分

（3）根據(jù)題意設(shè)

       設(shè) 

則

令，，

且時(shí)，

∴時(shí)，取最小值，此時(shí),代入橢圓方程得

∴