Question

（2013•靜安區(qū)一模）函數(shù)y=f（x），x∈D，其中D≠∅．若對任意x∈D，f（|x|）=|f（x）|，則稱y=f（x）在D內(nèi)為對等函數(shù)．
（1）指出函數(shù)y=

x

，y=x³，y=2^x在其定義域內(nèi)哪些為對等函數(shù)；
（2）試研究對數(shù)函數(shù)y=log_ax（a＞0且a≠1）在其定義域內(nèi)是否是對等函數(shù)？若是，請說明理由；若不是，試給出其定義域的一個非空子集，使y=log_ax在所給集合內(nèi)成為對等函數(shù)；
（3）若{0}⊆D，y=f（x）在D內(nèi)為對等函數(shù)，試研究y=f（x）（x∈D）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對等函數(shù)的定義，我們判斷y=

x

，y=x³是對等函數(shù)；
（2）要想一個函數(shù)不是“對等函數(shù)”關(guān)鍵是根據(jù)題中條件對任意x∈D，f（|x|）=|f（x）|，或舉出反例；
（3）對任意x∈D，對集合D分類討論f（x）與f（-x）的關(guān)系，最后給出結(jié)論．

解答：解：（1）y=

x

，y=x³是對等函數(shù)；（4分）
（2）研究對數(shù)函數(shù)y=log_ax，其定義域為（0，+∞），所以log_a|x|=log_ax，又|log_ax|≥0，所以當(dāng)且僅當(dāng)log_ax≥0時f（|x|）=|f（x）|成立．所以對數(shù)函數(shù)y=log_ax在其定義域（0，+∞）內(nèi)不是對等函數(shù)．（6分）
當(dāng)0＜a＜1時，若x∈（0，1]，則log_ax≥0，此時y=log_ax是對等函數(shù)；
當(dāng)a＞1時，若x∈[1，+∞），則log_ax≥0，此時y=log_ax是對等函數(shù)；
總之，當(dāng)0＜a＜1時，在（0，1]及其任意非空子集內(nèi)y=log_ax是對等函數(shù)；當(dāng)a＞1時，在[1，+∞）及其任意非空子集內(nèi)y=log_ax是對等函數(shù)．（10分）
（3）對任意x∈D，討論f（x）與f（-x）的關(guān)系．
1）若D不關(guān)于原點對稱，如y=

x

雖是對等函數(shù)，但不是奇函數(shù)或偶函數(shù)；（11分）
2）若D={0}，則f（0）=|f（0）|≥0．當(dāng)f（0）=0時，f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)f（0）＞0時，f（x）是偶函數(shù)．（13分）
3）以下均在D關(guān)于原點對稱的假設(shè)下討論．
當(dāng)x＞0時，f（|x|）=f（x）=|f（x）|≥0；
當(dāng)x＜0時，f（|x|）=f（-x）=|f（x）|，若|f（x）|=f（x），則有f（-x）=f（x）；此時，當(dāng)x＞0時，-x＜0，令-x=t，則x=-t，且t＜0，由前面討論知，f（-t）=f（t），從而f（x）=f（-x）；
綜上討論，當(dāng)x＜0時，若f（x）≥0，則f（x）是偶函數(shù)．（15分）
若當(dāng)x＜0時，f（x）≤0，則f（|x|）=f（-x）=|f（x）|=-f（x）；此時，當(dāng)x＞0時，-x＜0，令-x=t，則x=-t，且t＜0，由前面討論知，f（-t）=-f（t），從而f（x）=-f（-x）；
若f（0）=0，則對任意x∈D，都有f（-x）=-f（x）．
綜上討論，若當(dāng)x＜0時，f（x）≤0，且f（0）=0，則f（x）是奇函數(shù)．若f（0）≠0，則f（x）不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（18分）

點評：本小題主要考查進行簡單的合情推理、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．要想判斷f（x）為“對等函數(shù)”，要經(jīng)過嚴(yán)密的論證說明f（x）滿足“對等函數(shù)”的概念，但要判斷f（x）不為“對等函數(shù)”，僅須要舉出一個反例即可．