已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,an+1=
2an-1
an
,bn=an-1,數(shù)列{bn}的前n和為Sn
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)設(shè)Tn=S2n-Sn,求證:Tn+1>Tn
(3)求證:對任意的n∈N*
nan+1
2
≤S2n<nan-
1
2
成立.
考點:數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合
專題:綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析:(1)由已知條件推導出{
1
an-1
}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,由此能求出bn=
1
n

(2)由已知條件推導出Tn=S2n-Sn=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
,Tn+1=
1
n+2
+
1
n+3
+…
1
2n
+
1
2n+1
+
1
2n+2
,由此利用作差法能證明Tn+1>Tn
(3)由an=
1
n
+1
,推導出
nan+1
2
=
n
2
+1
,S2n=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
,nan-
1
2
=n+1.由此能證明對任意的n∈N*
nan+1
2
≤S2n<nan-
1
2
成立.
解答: (1)解:∵an+1=
2an-1
an
,
∴an+1-1=
an-1
an
,
1
an+1-1
-
1
an-1
=1
∵a1=2,
∴{
1
an-1
}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,
1
an-1
=n,
∵bn=an-1,
∴bn=
1
n

(2)證明:∵Sn=1+
1
2
+
1
3
+••+
1
n
,
∴Tn=S2n-Sn=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
,
Tn+1=
1
n+2
+
1
n+3
+…
1
2n
+
1
2n+1
+
1
2n+2

∴Tn+1-Tn=
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
1
2n+2
+
1
2n+2
-
1
n+1
=0,
∴Tn+1>Tn
(3)證明:由(1)知an=
1
n
+1
,
nan+1
2
=
n(
1
n
+1)+1
2
=
n
2
+1

S2n=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
,
nan-
1
2
=n(
1
n
+1
)=n+1.
∵n∈N*,
∴對任意的n∈N*
nan+1
2
≤S2n<nan-
1
2
成立.
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查不等式的證明,解題時要認真審題,注意構(gòu)造法和作差法的合理運用.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

等差數(shù)列{an}中,a1=2,a2+a4=8,則a3+a7+a8=(  )
A、15B、18C、21D、24

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若2sinA=sinC,a2,c2,b2成等差數(shù)列,則B=( 。
A、30°B、60°
C、120°D、150°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若函數(shù)y=f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),對定義域內(nèi)的任意兩個實數(shù)x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),并且當x>1時,f(x)>0,且f(4)=2
(1)證明函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù);
(2)證明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù);
(3)若函數(shù)g(x)=2x-2,且當a∈[1,4]時,有f(a)=g(b),求b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知扇形AOB的周長為12.
(1)若扇形AOB的面積為8,求圓心角α的大;
(2)當扇形AOB的面積取到最大值時,求圓心角α的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足:①f(x)=f(2-x);②當0≤x≤1時,f(x)=x2
(1)求f(5.5)的值;
(2)證明:x∈R時,f(x+2)=f(x)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ln(x+
3
2
)+
2
x
,g(x)=
1
x2-1
+a;
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若方程g(x)=ln(x2+1)有4個不同的實根,求a的范圍?
(3)是否存在正數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=blnx有兩個不相等的實根?如果存在,求b滿足的條件,如果不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某軟件公司研發(fā)了多款軟件,其中A,B,C三種軟件供高中生使用,經(jīng)某高中使用一學年后,該公司調(diào)查了這個學校同一年級四個班的使用情況,從各班抽取的樣本人數(shù)如下表:
班級
人數(shù) 3 2 3 4
(1)從這12人中隨機抽取2人,求這2人恰好來自同一個班級的概率;
(2)從這12人中,指定甲、乙、丙3人為代表,已知他們每人選擇一款軟件,其中選A,B兩款軟件的概率都是
1
6
,且他們選擇A,B,C任一款軟件都是相互獨立的.設(shè)這3名學生中選擇軟件C的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,獲得單價xi(元)與銷量yi(件)的數(shù)據(jù)資料如下表:
單價x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
銷量y(件) 90 84 83 80 75 68
(Ⅰ)求單價x對銷量y的回歸直線方程
y
=bx+a,(其中b=-20,a=
.
y
-b
.
x

(Ⅱ)為了使銷量達到100件,則單價應定為多少?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案