Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a₁=1，Sn=

n

n+2

an+1，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

Sn+1

Sn

=

2(n+1)

n

，由此利用累積法能求出數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由Sn ═n•2^n-1．T_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，利用錯(cuò)位相減法能求出T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為Sn，a₁=1，
Sn=

n

n+2

an+1=

n

n+2

(Sn+1-Sn)，
∴

Sn+1

Sn

=

2(n+1)

n

，
∴Sn=S1×

S2

S1

×

S3

S2

×…×

Sn

Sn-1

=1×

2(1+1)

1

×

2(2+1)

2

×…×

2n

n-1

=n•2^n-1．
（Ⅱ）∵T_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n
∴T_n=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2n
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．