Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinωxcosωx-

3

cos²ωx（其中0＜ω＜3），若f（x）關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，-

3

2

）對(duì)稱．
（1）若f（A）=

1- 3

2

，求銳角A；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移

π

4

ω個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，求g（x）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，利用函數(shù)圖象的對(duì)稱問題求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出A的值．
（2）利用函數(shù)的平移變換求出g（x）的解析式，再利用定義域的范圍求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sinωxcosωx-

3

cos²ωx
=

1

2

sin2ωx-

3 (cos2ωx+1)

2

=sin(2ωx-

π

3

)-

3

2

，
由于函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（

π

6

，-

3

2

）對(duì)稱．
則：2ω

π

6

-

π

3

=kπ，
解得：ω=3k+1，
由于0＜ω＜3，
所以：k=0，
解得：ω=1．
所以：f（x）=sin(2x-

π

3

)-

3

2

，
又由于：f（A）=

1- 3

2

，
所以：sin(2A-

π

3

)-

3

2

=

1- 3

2

，
解得：銳角A=

π

4

．
（2）將y=f（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，得到：
g（x）=sin[2(x+

π

4

)-

π

3

]-

3

2

=sin(2x+

π

6

)-

3

2

，
由于：當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，
所以：

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
則：

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，

1- 3

2

≤g(x)≤1-

3

2

，
所以：g（x）的取值范圍為：[

1- 3

2

，1-

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的對(duì)稱問題，三角函數(shù)的求值，函數(shù)圖象的平移問題，利用三角函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的值域．屬于基礎(chǔ)題型．