Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-2|若存在互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c使得f（a）=f（b）=f（c）成立，則a+b+c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值,函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用絕對(duì)值的幾何意義，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，可得函數(shù)的圖象，利用不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，使f（a）=f（b）=f（c） 成立，a+b=2，2＜c＜1+

2

，從而可得結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x|x-2|=

x2-2x=(x-1)2-1，x≥2 -x2+2x=-(x-1)2+1，x＜2

，圖象如圖所示；
∵x=1時(shí)，函數(shù)值為1
∴由-x²+2x=1（x≥2），可得x=1+

2

∵不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，使f（a）=f（b）=f（c） 成立，
∴a+b=2，2＜c＜1+

2

∴4＜a+b+c＜3+

2

故答案為：（4，3+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．