Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+

a+1

x

+3（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若關(guān)于x的不等f（x）≥m²-5m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)a≥-

1

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求出函數(shù)解析式，得到原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得f′（2）=1，然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）求出a=1時(shí)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域分段，求出得到區(qū)間，得到函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，根據(jù)函數(shù)f（x）在（0，+∞）只有唯一的極小值點(diǎn)求得極小值，把f（x）≥m²-5m恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)min≥m2-5m，解不等式求得m的取值范圍；
（3）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

1

x

+a-

a+1

x

=

ax2+x-(a+1)

x2

，令g（x）=ax²+x-（a+1），然后對(duì)a進(jìn)行分類討論分析g（x）的符號(hào)，從而得到f′（x）的符號(hào)，進(jìn)一步得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx+x+

2

x

+3，x∈(0，+∞)，
∴f′(x)=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

，x∈（0，+∞），
∴f′（2）=1，
即曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為1，
又f（2）=6+ln2，
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為：x-y+ln2+4=0；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，∴f′(x)=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

，x∈（0，+∞），
令f′（x）=0，得：x²+x-2=0，解得：x₁=-2（舍），x₂=1．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
因此函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，+∞）只有唯一的極小值點(diǎn)．
故函數(shù)f（x）在x=1處取得最小值f（x）_min=f（1）=6．
f（x）≥m²-5m恒成立?f(x)min≥m2-5m，
即：m²-5m≤6，解得：-1≤m≤6．
故所求m的取值范圍是：-1≤m≤6；
（3）∵f′(x)=

1

x

+a-

a+1

x

=

ax2+x-(a+1)

x2

，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax²+x-（a+1），x∈（0，+∞），
當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=x-1，x∈（0，+∞），
此時(shí)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)a≠0時(shí)，由f′（x）=0，即ax²+x-（a+1）=0，解得：x1=1，x2=-

1

a

-1．
①當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，x₁=x₂，g（x）≤0恒成立，
此時(shí)f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞減； 
②當(dāng)-

1

2

＜a＜1時(shí)，-

1

a

-1＞1＞0，
此時(shí)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(1，-

1

a

-1)時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(-

1

a

-1，+∞)時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞0時(shí)，-

1

a

-1＜0，
此時(shí)：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述：
當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）在(1，-

1

a

-1)上單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）在(-

1

a

-1，+∞)上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查了函數(shù)恒成立問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確分類是解答該題的關(guān)鍵，是壓軸題．