Question

如圖1所示，在邊長為12的正方形ADD₁A₁中，點(diǎn)B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點(diǎn)B₁，P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點(diǎn)C₁，Q，將該正方形沿BB₁，CC₁折疊，使得DD₁與AA₁重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）求證：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）若點(diǎn)E為四邊形BCQP內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且二面角E-AP-Q的余弦值為

3

3

，求|BE|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）在正方形ADD₁A₁中，由已和知得三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的邊AC=5．AB⊥BC．由此能證明⊥平面BCC₁B₁．
（2）以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，利用向量法能求出|BE|的最小值為點(diǎn)B，到線段：m+2n-6=0 的距離

6 5

5

．

解答： 解：（1）在正方形ADD₁A₁中，∵CD=AD-AB-BC=5，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的邊AC=5．
∵AB=3，BC=4，∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．
∵四邊形ADD₁A₁為正方形，AA₁∥BB₁，
∴AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁．（4分）
（2）∵AB，BC，BB₁兩兩互相垂直．
以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
∴

AP

=(0，3，-3)，

AQ

=(4，7，-3)，
設(shè)平面PQA的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z）．
則由

n • AP =3y-3z=0 n • AQ =4x+7y-3z=0

，
令x=-1，得y=z=1．所以

n

=(-1，1，1)．
設(shè)點(diǎn)E（m，n，0），則

AE

=(m，n，3)，

PE

=(m，n-3，0)，設(shè)平面EAP的法向量

m

=（x，y，z），
由

mx+(n-3)y=0 mx+ny-3z=0

，得

m

=（3-n，m，m），
∵二面角E-AP-Q的余弦值為

3

3

，
∴cos＜

m

，

n

＞=

n-3+2m

3 • (3-n)2+2m2

=

3

3

，
得：m+2n-6=0
∴|BE|的最小值為點(diǎn)B，到線段：m+2n-6=0 的距離

6 5

5

．（13分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查線段的最小值的求法，考查點(diǎn)到線段的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．