Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項的和為S_n，且S_n=

1-bn

2

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_n•b_n，求證：c_n+1＜c_n
（3）求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，確定數(shù)列{a_n}的公差，可得數(shù)列的通項；再寫一式，兩式相減，可得}，{b_n}的通項公式；
（2）利用作差法，即可證得結論；
（3）利用錯位相減法，可求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答：（1）解：∵等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，
∴a₃=5，a₅=9，∴d=

a5-a3

5-3

=2
∴a_n=a₅+2（n-5）=2n-1
∵S_n=

1-bn

2

，∴n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=

bn-1-bn

2

，∴

bn

bn-1

=

1

3

∵n=1時，b₁=S₁=

1-b1

2

，∴b₁=

1

3

∴b_n=

1

3

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n；
（2）證明：由（1）知c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

∴c_n+1-c_n=

2n+1

3n+1

-

2n-1

3n

=

4(1-n)

3n+1

≤0
∴c_n+1＜c_n
（3）解：T_n=

1

3

+

3

32

+…+

2n-1

3n

∴

1

3

T_n=

1

32

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

兩式相減可得：

2

3

T_n=

1

3

+

2

32

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

3

2

-

3

2

•

n+1

3n

∴T_n=1-

n+1

3n

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式與求和，考查錯位相減法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．