Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A、B的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)三棱錐P－ABC的四個(gè)面中有幾個(gè)直角三角形？

(2)面PAC與面PBC所成的二面角的大小是否隨動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)變化而變化？說(shuō)明理由．

(3)若D為PB中點(diǎn)，如何過(guò)D作面PAC的垂線？說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥AC，PA⊥AB．∴△PAC、△PAB都是直角三角形．又∵AB為直徑，C為圓周角，∴△ACB為直角三角形．又∵BC⊥AC、BC⊥PA，BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．∴△PBC也為直角三角形．因此，三棱錐P－ABC的四個(gè)面中有4個(gè)直角三角形． 　　(2)由(1)知BC⊥平面PAC，∴平面PBC⊥平面PAC． 　　無(wú)論C點(diǎn)在圓周上任何地方(A、B除外)，平面PBC⊥平面PAC．因此，面PAC與面PBC所成的二面角的大小與C的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)． 　　(3)由(1)知面PAC⊥面PBC，又面PAC∩面PBC＝PC，且D∈面PBC， 　　∴過(guò)D點(diǎn)作DE⊥PC，E為垂足，則DE⊥面PAC．

提示：

首先根據(jù)線線垂直、線面垂直找到圖中存在的直角三角形．然后用二面角的定義進(jìn)行判斷．