Question

已知函數(shù)f（x）=[2log₄（2x）-（2a+1）]•log₂x+3，x∈[

3	2

，8]
（1）若f（x）的最小值記為h（a），求h（a）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足以下條件：
①log₃m＞log₃n＞1；
②當(dāng)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n²，m²]．若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=log₂x，可得t∈[

1

3

，3]，y=t²-2at+3，由于函數(shù)y的對稱軸方程為t=a，分類討論求得f（x）的最小值h（a）．
（2）由條件可得m＞n＞3，h（a）=-6a+12，根據(jù)（a）的值域可得-6n+12=n²，且-6m+12=m²，兩式相減可得6（m-n）=（m-n）（m+n），這不可能成立，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）令t=log₂x，∵x∈[

3	2

，8]，∴t∈[

1

3

，3]，y=t²-2at+3．
由于函數(shù)y的對稱軸方程為t=a，①當(dāng)a＜

1

3

時(shí)，f（x）的最小值h（a）=f（

1

3

）=-

2a

3

+

28

9

；
②當(dāng)a∈[

1

3

，3]時(shí)，f（x）的最小值h（a）=f（a）=-a²+3；③當(dāng)a＞3時(shí)，f（x）的最小值h（a）=f（3）=-6a+12．
綜上可得，h（a）=

- 2a 3 + 28 3 ，a＜ 1 3 -a2+3，a∈[ 1 3 ，3] -6a+12，a＞3

．
（2）由log₃m＞log₃n＞1，可得m＞n＞3，故h（a）=-6a+12，而h（a）在[n，m]上的值域?yàn)閇h（n），h（m）]，
即[-6n+12，-6m+12]．
而已知h（a）的值域?yàn)閇n²，m²]，可得-6n+12=n²，且-6m+12=m²，兩式相減可得6（m-n）=（m-n）（m+n），
由m＞n＞3可得6（m-n）=（m-n）（m+n） 不可能成立，故滿足條件的m、n不存在．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．