Question

已知拋物線C以原點為頂點，焦點F在x軸上，其準線交x軸于點N，點M（1，m）在拋物線C上，且|MF|=2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）記拋物線的準線交x軸于點N，過點N直線l交拋物線于A、B兩點，若△ABF的面積為4

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意，設拋物線方程為y²=2px（p＞0），根據點M（1，m）在拋物線C上，且|MF|=2，可求得p=2，從而可確定拋物線方程；
（2）點N（-1，0），設直線l方程為x=ky-1代入拋物線方程，利用△ABF的面積為4

3

，可求k=±2，故可求直線l的方程．

解答：解：（1）由題意，設拋物線方程為y²=2px（p＞0）
∵點M（1，m）在拋物線C上，且|MF|=2
∴1+

p

2

=2
∴p=2
∴拋物線方程為 y²=4x．
（2）點N（-1，0），設直線l方程為x=ky-1
代入拋物線方程y²=4x，得y²-4ky+4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵△ABF的面積為4

3

 
∴

1

2

×2×(y2-y1)=4

3

∴16k²-16=48
∴k=±2
∴直線l的方程x=±2y-1．
經檢驗，符合題意．

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查面積公式．