Question

已知拋物線C以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，其準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)N，點(diǎn)M（1，m）在拋物線C上，且|MF|=2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）記拋物線的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)N直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若△ABF的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）由題意，設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0）
∵點(diǎn)M（1，m）在拋物線C上，且|MF|=2
∴
∴p=2
∴拋物線方程為 y²=4x．
（2）點(diǎn)N（-1，0），設(shè)直線l方程為x=ky-1
代入拋物線方程y²=4x，得y²-4ky+4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵△ABF的面積為
∴
∴16k²-16=48
∴k=±2
∴直線l的方程x=±2y-1．
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
分析：（1）由題意，設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），根據(jù)點(diǎn)M（1，m）在拋物線C上，且|MF|=2，可求得p=2，從而可確定拋物線方程；
（2）點(diǎn)N（-1，0），設(shè)直線l方程為x=ky-1代入拋物線方程，利用△ABF的面積為，可求k=±2，故可求直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查面積公式．