已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,離心率為,橢圓上的動點(diǎn)到直線的最小距離為2,延長使得,線段上存在異于的點(diǎn)滿足.

(1)   求橢圓的方程;

(2)   求點(diǎn)的軌跡的方程;

(3)   求證:過直線上任意一點(diǎn)必可以作兩條直線

的軌跡相切,并且過兩切點(diǎn)的直線經(jīng)過定點(diǎn).

 

【答案】

(1);(2);(3)直線經(jīng)過定點(diǎn)(1,0).

【解析】本試題主要考查了圓與直線,以及橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

解:(1)依題意得,    ………………………………………………2分

解得,∴ ……………………………………………………………3分

橢圓的方程為   …………………………………………………………………4分

(2)解法1:設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y).

當(dāng)重合時,點(diǎn)坐標(biāo)為和點(diǎn),     …………………………………5分

當(dāng)不重合時,由,得.  ……………………………6分

及橢圓的定義,, …………7分

所以為線段的垂直平分線,T為線段的中點(diǎn)

中,,  …………………………………………8分

所以有.

綜上所述,點(diǎn)的軌跡C的方程是.    …………………………………9分

(3)   直線相離,

過直線上任意一點(diǎn)可作圓的兩條切線   …………10分

所以

所以O(shè),E,M,F四點(diǎn)都在以O(shè)M為直徑的圓上,  …………………………11分

其方程④      …………………………12分

  EF為兩圓的公共弦,③-④得:EF的方程為4X+ty -4=0      ………13分

顯然無論t為何值,直線ef經(jīng)過定點(diǎn)(1,0).           ………………14分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過點(diǎn)P(1,
3
2
)
.M為橢圓上的動點(diǎn),以M為圓心,MF2為半徑作圓M.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓M與y軸有兩個交點(diǎn),求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍;
(3)是否存在定圓N,使得圓N與圓M相切?若存在.求出圓N的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,其右準(zhǔn)線上上存在點(diǎn)(點(diǎn) 軸上方),使為等腰三角形.

⑴求離心率的范圍;

    ⑵若橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為,求的內(nèi)切圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期假期檢測考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型:解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,, 點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn),△是等腰直角三角形.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)分別作直線交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為,,且,證明:直線過定點(diǎn)().

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期三校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題

(本題滿分14分)     已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,其中

F2也是拋物線的焦點(diǎn),M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且  

(I)求橢圓C1的方程;   (II)已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C1上,頂點(diǎn)B、D在直線上,求直線AC的方程。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年云南省德宏州高三高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(本小題滿分12分)

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率,右準(zhǔn)線方程為

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)過點(diǎn)的直線與該橢圓交于M、N兩點(diǎn),且,求直線的方程.

 

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