【題目】已知點P(1,2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)斜率為﹣1的直線與C交于異于點P的兩個不同的點M,N,若直線PM,PN分別與x軸交于A,B兩點,求證:△PAB為等腰三角形.
【答案】(Ⅰ) y2=4x; (Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ) 將點P(1,2)代入拋物線方程可得結(jié)果;
(Ⅱ) 設(shè)直線MN的方程為y=﹣x+t,聯(lián)立拋物線方程y2=4x,根據(jù)韋達(dá)定理和斜率公式運算可得.
(Ⅰ)將點P(1,2)代入拋物線方程可得22=2p1,∴p=2,所以拋物線方程為y2=4x;
(Ⅱ)證明:由題意設(shè)直線MN的方程為y=﹣x+t,聯(lián)立拋物線方程y2=4x,可得x2﹣(2t+4)x+t2=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),可得x1+x2=2t+4,x1x2=t2,
由kPM+kPN2+(t﹣3)()
=﹣2+(t﹣3)2+2(t﹣3)0,
則∠PAB=∠PBA,即△PAB為等腰三角形.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解本校文、理科學(xué)生的學(xué)業(yè)水平模擬測試數(shù)學(xué)成績情況,分別從理科班學(xué)生中隨機抽取人的成績得到樣本甲,從文科班學(xué)生中隨機抽取人的成績得到樣本乙,根據(jù)兩個樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:
甲樣本數(shù)據(jù)直方圖
乙樣本數(shù)據(jù)直方圖
已知乙樣本中數(shù)據(jù)在的有個.
(1)求和乙樣本直方圖中的值;
(2)試估計該校理科班學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的平均值和文科班學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解觀眾對某綜藝節(jié)目的評價情況,欄目組隨機抽取了名觀眾進行評分調(diào)查(滿分分),并統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖,以下說法錯誤的是( )
A.參與評分的觀眾評分在的有人
B.觀眾評分的眾數(shù)約為分
C.觀眾評分的平均分約為分
D.觀眾評分的中位數(shù)約為分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,記
(1)求實數(shù)、的值;
(2)若不等式成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)對于任意滿足的自變量,,,,,,如果存在一個常數(shù),使得定義在區(qū)間上的一個函數(shù),有恒成立,則稱為區(qū)間上的有界變差函數(shù),試判斷是否區(qū)間上的有界變差函數(shù),若是,求出的最小值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知項數(shù)為的數(shù)列滿足如下條件:①;②.若數(shù)列滿足,其中,則稱為的“伴隨數(shù)列”.
(1)數(shù)列1,3,5,7,9是否存在“伴隨數(shù)列”,若存在,寫出其“伴隨數(shù)列”;若不存在,請說明理由;
(2)若為的“伴隨數(shù)列”,證明:;
(3)已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”,且,,求m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若直線與橢圓E相交于A,B兩點,設(shè)P為橢圓E上一動點,且滿足(O為坐標(biāo)原點).當(dāng)時,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,過軸正方向上一點任作一直線,與拋物線相交于兩點,一條垂直于軸的直線分別與線段和直線交于點.
(1)若,求的值;
(2)若為線段的中點,求證:直線與該拋物線有且僅有一個公共點.
(3)若直線的斜率存在,且與該拋物線有且僅有一個公共點,試問是否一定為線段的中點?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x+1|(a∈R),g(x)=|2x﹣1|+2.
(1)若a=1,證明:不等式f(x)≤g(x)對任意的x∈R成立;
(2)若對任意的m∈R,都有t∈R,使得f(m)=g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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