Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-

2

bx+1

 （a∈R，b＞0且b≠1）
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f （x）為奇函數(shù)？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)單調(diào)性的定義證明，步驟：①取值 ②作差 ③化簡(jiǎn) ④判號(hào) ⑤下結(jié)論；
（2）先用特值法f（0）=0求出a，再檢驗(yàn)．

解答：解：（1）函數(shù)f （x）的定義域是R，
當(dāng)b＞1時(shí)，函數(shù)f （x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜b＜1時(shí)，函數(shù)f （x）在R上是單調(diào)遞減．
證明：任取R上兩x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f （x₁）-f （x₂）=a-

2

bx1+1

-（ a-

2

bx2+1

）=

2

bx2+1

-

2

bx1+1

=

2(bx1-bx2)

(bx1+1)•(bx2+1)

當(dāng)b＞1時(shí)，∵x₁＜x₂∴bx1＜bx2∴bx1-bx2＜0
得f （x₁）-f （x₂）＜0   
所以f （x₁）＜f （x₂）
故此時(shí)函數(shù)f （x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)0＜b＜1時(shí)，∵x₁＜x₂∴bx1＞bx2∴bx1-bx2＞0
得f （x₁）-f （x₂）＞0         
所以f （x₁）＞f （x₂）
故此時(shí)函數(shù)f （x）在R上是單調(diào)減函數(shù)．
（2）f （x）的定義域是R，
由f（0）=0，求得a=1．
當(dāng)a=1時(shí)，f(-x)=1-

2

b-x+1

=

b-x-1

b-x+1

=

1-bx

1+bx

，f(x)=1-

2

bx+1

=

bx-1

bx+1

滿足條件f（-x）=-f（x），
故a=1時(shí)函數(shù)f （x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：（1）單調(diào)性的判斷中注意分類討論；（2）注意奇偶性中結(jié)論的利用．