Question

已知雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為，兩條準線間的距離為1，F₁，F₂是雙曲線的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）直線l過坐標原點O且和雙曲線交于兩點M，N，點P為雙曲線上異于M，N的一點，且直線PM，PN的斜率均存在，求k_PM•k_PN的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，雙曲線焦點在x軸上，
有：
解得a²=1，b²=3．
∴雙曲線方程為．
（Ⅱ）設M（x₀，y₀），由雙曲線的對稱性，可得N（-x₀，-y₀）．
設P（x_P，y_P），
則，
又，
∴y₀²=3x₀²-3．
同理y_P²=3x_P²-3，
∴．
分析：（Ⅰ）依題意，雙曲線焦點在x軸上，且其一條漸近線方程為，兩條準線間的距離為1，可得方程組：
解得a²=1，b²=3，代入可得答案；
（Ⅱ）設M（x₀，y₀），由雙曲線的對稱性，可得N的坐標，設P（x_P，y_P），結合題意，又由M在雙曲線上，可得，將其坐標代入k_PM•k_PN中，計算可得答案．
點評：本題考查雙曲線與直線相交的性質，此類題目一般計算量較大，注意計算的準確性，其次要盡可能的簡化運算，以降低運算量．