Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+4）=-f（x），f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，則下列結(jié)論：
①若0＜x＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，則f（x₁）+f（x₂）＞0；
②若0＜x＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，則f（x₁）＞f（x₂）；
③若方程f（x）=m在[-8，8]內(nèi)恰有四個不同的解，x₁、x₂、x₃、x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=±8．
其中正確的命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），則函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且在[0，2]上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的 性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，即可求解

解答：解：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），此函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，
又f（x）是奇函數(shù)，且在[0，2]上為增函數(shù)
∴f（x）在[-2，0]上也是增函數(shù)
當(dāng)x∈[2，4]時，x-4∈[-2，0]，且由已知可得f（x-4）=-f（x），則可得函數(shù)f（x）在[2，4]上單調(diào)遞減，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，f（x）在[-4，-2]上也是單調(diào)遞減
①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，則0＜x₁＜4-x₁＜4，即0＜x₁＜2，-2＜x₁-4＜0
由f（x）在[0，2]上是增函數(shù)可得f（x）在[-2，0]上也是增函數(shù)，則f（x₁）＞f（x₁-4）=f（-x₂）=-f（x₂），則f（x₁）+f（x₂）＞0；故①正確
②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，則0＜x₁＜5-x₁＜4，即1＜x1＜

5

2

，f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，由圖可知：f（x₁）＞f（x₂）；故②正確；
③四個交點中兩個交點的橫坐標(biāo)之和為2×（-6），另兩個交點的橫坐標(biāo)之和為2×2，此時x₁+x₂+x₃+x₄=-12+4=-8，故③正確；
故答案為①②③

點評：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題，使用了數(shù)形結(jié)合的方法，可以簡化基本運(yùn)算